TAREAS DESIGNADAS

GENERALIZACIÓN DEL TEORENA DE GAUSS

El Teorema de Gauss, generaliza que:

            Si el polinomio P(x), de grado n, con coeficientes enteros y término independiente no nulo, admite una raíz racional   p/q (fracción irreducible), entonces p es divisor del término independiente y q lo es del coeficiente principal.

Para poder aplicarlo seguimos los siguientes pasos:

1)Se extraen los divisores tanto del término independiente y del coeficiente principal
2) Se arman las posibles raíces del polinomio
3)Por medio del Teorema del resto se encuentran las n raíces del polinomio
4)Luego podemos escribir al polinomio como producto de sus raíces y el coeficiente principal 

COMO APLICAMOS EL TEOREMA DE GAUSS

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RECUERDO DE ACTIVIDADES !!!!!!!!

ESTIMADOS ALUMNOS:
                                             LES RECUERDO LAS ACTIVIDADES REALIZADAS EN LA CLASE PRESENCIAL DEL DIA 24 DE SEPTIEMBRE QUE DEBEN SUBIR A BLOG, CON UN LIMITE EL DÍA VIERNES 1 DE OCTUBRE.(RECUERDEN QUE MAÑANA ES EL PRESENCIAL EN EL TERCER MÓDULO POR CAMBIO DE HORARIO).

EJERCITACIÓN FINAL ( UNIDAD N° 4 )

ACTIVIDAD N°5 (AGUSTINA N. Y LUCIA)
ACTIVIDAD N°6 (NICOLAS Y MAXI)
ACTIVIDAD N°7 (ARIEL)
ACTIVIDAD N°8 (PABLO Y JUAN MANUEL)
ACTIVIDAD N°9 (AGUSTINA RS.)

ESPERO CUALQUIER CONSULTA!!!!!!!SUERTE

LUCIA MEJORANDO EL PROYECTO!!!!!!

AGUSTINA TRABAJANDO EN EL PROYECTO

Trabajando en el Proyecto

ENVIAR POR FAVOR

ESTIMADA PROFESORA POR FAVOR ENVIE LAS TAREAS DESIGNADAS PARA MI. GRACIAS :).

Trabajando (Y)

GAUSS

TRABAJANDO EN EL PROYECTO

TRABAJANDO EN EL PROYECTO

TRABAJANDO EN EL PROYECTO

TRABAJANDO EN EL PROYECTO

EJERCICIO PRACTICO DE LA REGLA DE RUFFINI

Usa la Regla de Ruffini para realizar la siguiente división de polinomios:

El divisor (x+2) es del tipo (x ± a) , por tanto, se puede aplicar la Regla de Ruffini.
- Copiamos los coeficientes del dividendo (en orden decreciente y poniendo ceros si faltan grados).
- Dibujamos la tabla de Ruffini y ponemos el término independiente del divisor cambiado de signo (como es x+2 , ponemos -2).

- Sumamos cada columna, multiplicamos por "-2" y colocamos el resultado en la columna siguiente.

- El último número es el Resto de la división.
- Los números anteriores forman el Cociente.

- En la división por Ruffini, el cociente tiene un grado menos que el dividendo.
- Como el dividendo es de grado 3, el cociente es de grado 2.
- Los números del cociente: 4, -11 y 40 hay que interpretarlos como los coeficientes de un polinomio de grado 2, es decir, 4x²-11x+40
Por tanto, el resultado de la división es:
Cociente: 4x²-11x+40
Resto: -89

NICOLAS ROSALES
D.N.I. 38.591.907

REGLA DE RUFFINI

¿Qué es la Regla de Ruffini?
La Regla de Ruffini es un método más sencillo para realizar divisiones de polinomios:

¿Cuándo se puede usar?
Podemos usar la Regla de Ruffini cuando el divisor sea de la forma (x ± a) , es decir, x más o menos un número.
¿Cómo se dividen polinomios usando Ruffini?
Para dividir polinomios usando la regla de Ruffini, seguimos los siguientes pasos que aplicamos al ejemplo:


1. Ordenamos el polinomio (dividendo) de forma decreciente.
2. Escribimos los coeficientes del dividendo (si faltan grados ponemos ceros).
3. Preparamos una tabla de Ruffini (ver imagen siguiente).

4. Ponemos el término independiente del divisor cambiado de signo (como es x-1 , ponemos +1)

5. Realizamos un proceso repetitivo, de izquierda a derecha, que consiste en sumar cada columna, anotar el resultado debajo de la línea y multiplicar por el número de la izquierda (en nuestro caso "uno") y poner el resultado encima de la línea, pero en la columna siguiente.

6. El último número obtenido es el resto de la división. Los anteriores representan el cociente.

Interpretación del resultado
Los números que representan el cociente son los coeficientes del polinomio-cociente de la división.
Se pueden interpretar de dos maneras:
- De izquierda a derecha: sabiendo que el cociente tiene un grado menos que el dividendo. Si el dividendo es de grado 4, entoncese el cociente es de grado 3. En ese caso, el primer número es el coeficiente de x³, el siguiente de x², .. hasta llegar al grado cero o término independiente.
- De derecha a izquierda: el primer número es el coeficiente del término de grado cero (término independiente), el siguiente el de grado uno, grado dos, ... hasta llegar al final.

Ejemplo
Usaremos la regla de Ruffini para realizar la siguiente división:

- Antes de aplicar Ruffini comprobamos que el divisor (x+1) es de la forma (x ± a), por tanto si que podemos aplicar la Regla de Ruffini.
- Ordenamos el polinomio de forma decreciente (ya nos viene ordenado).
- Copiamos los coeficientes en la línea superior (poniendo ceros para los grados que falten), el término independiente del divisor en la línea del centro a la izquierda y dibujamos la tabla de Ruffini.

- Realizamos el algoritmo repetitivo: sumar columna, multiplicar y poner resultado en línea central de la columna siguiente:

- Por último, interpretamos y expresamos el resultado:

Resto: 22

NICOLAS ROSALES
DNI 38.591.907

REGLA DE RUFFINI

Regla de Ruffini

La regla de Ruffini es un algoritmo que permite obtener fácilmente el cociente y el resto de la división de un polinomio por un binomio de la forma x-a. Veamos el algoritmo con un ejemplo, consideremos P(x)=2x³ + x² - 3x + 5 y Q(x)=x-1. La división se realiza como sigue:

1.Se ordena el polinomio P(x) de mayor a menor grado y se colocan los coeficientes de cada término . Si no apareciese algún término entre el de mayor grado y el de menor se coloca un 0. A la izquierda se pone el número que se resta a x en Q(x), en nuestro caso 1 y se baja el coeficiente del término de mayor grado, este paso se corresponde con la figura 1.

2. Se multiplica el coeficiente que se ha bajado (2) por el que se ha colocado a la izquierda (1). El resultado del producto se coloca debajo del coeficiente del término siguiente y se suman. Figura 2

3. El resultado de la suma se vuelve a multiplicar por el número situado a la izquierda y se repite el proceso. Figuras 3 y 4.

4. El último número (recuadro rojo en Fig. 4) se corresponde con el resto de la división mientras que el resto de números de la fila inferior son los coeficientes del cociente.
Resto = 5 y C(x)=2x² + 3x por tanto 2x³ + x² - 3x + 5 =(x-1) (2x² + 3x) +5

LOVUOLO MAXIMILIANO
DNI 38463466
ROSALES FUNES
DNI 38591907

TEOREMA DEL RESTO

Teorema del resto

El resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma (x − a) es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: x = a.

Calcular por el teorema del resto el resto de la división:

P(x) : Q(x)

P(x)= x⁴ − 3x² + 2         Q(x) = x − 3

P(3) = 3⁴ − 3 · 3² + 2 = 81 − 27 + 2 = 56

NICOLAS ROSALES

DNI 38.591.907

TEOREMA DE GAUSS

Teorema de Gauss

Flujo de un campo vectorial
El flujo de un campo vectorial a través de una superficie es un concepto matemático de gran utilidad en física: electromagnetismo, mecánica de fluidos, etc.
El flujo ð de un campo vectorial V a través de una superficie S se define como la integral de superficie
ð = ð V cos ð dS = ð V n dS (15)
S S
donde n es el vector unitario normal a la superficie S en cada punto. La orientación de n se adopta por convenio como sigue: si S es una superficie cerrada (en cuyo caso aparece un circulito en el signo integral), n apunta siempre hacia afuera del volumen; si S es abierta, n se orienta en el sentido en que avanza un tornillo de rosca derecha cuando gira en el sentido de la circulación fijada para el contorno de S. El flujo de campo eléctrico puede verse, en definitiva, como el número de líneas de fuerza que atraviesa una determinada superficie.
El flujo total puede ser positivo, negativo o nulo. Si es positivo, se denomina saliente, y si es negativo entrante. Esto proviene de la aplicación de (15) al campo de velocidades de un fluido, la cual da el flujo de fluido a través de S.
Si S es una superficie cerrada, la ec. (15) puede reescribirse de la siguiente forma: tómese un punto arbitrario P en el interior de S; por definición, el elemento de ángulo sólido dð subtendido por la superficie diferencial dS desde el punto P es dð = dS cosð / r2, donde r es la distancia de P a dS, y ð es el ángulo que forman la normal a dS y la línea que une P con dS. Sustituyendo esto en (15) queda
F = ð V r2 dð (16)
4ð
Ley de Gauss para el campo eléctrico
Considérese el flujo del campo eléctrico de una carga puntual q, a través de una superficie cerrada arbitraria S que la contiene. Sustituyendo la ec (4) en (16) y tomado P donde está q, obtenemos
ð = ð (q / 4ðð0r2)r2 dð = (q / 4ðð0)4ð = q / ð0 (17)
Supongamos una carga q' exterior a la superficie cerrada S, entonces el flujo eléctrico es cero, porque el flujo entrante es igual al saliente. En efecto, consideremos dos elementos de superficie opuestos dS' y dS'', subtendidos por el mismo ángulo sólido diferencial desde q'; el flujo a través de dS' es igual en magnitud, pero de signo opuesto, al flujo eléctrico a través de dS'', por consiguiente su suma es cero.
Si hay varias cargas en el interior de la superficie arbitraria S, el flujo eléctrico total será la suma de los flujos producidos por cada carga, en virtud del principio de superposición. Se puede establecer pues la ley de Gauss: el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada arbitraria que encierra una carga eléctrica neta q en su interior es
ð = ð E n dS = q/ðð (18)
S
Esta ley, obtenida analíticamente por el insigne matemático Gauss, es especialmente útil para calcular el campo producido por distribuciones de cargas que presentan ciertas simetrías.
Ejemplos de resolución del teorema de Gauss:
Carga puntual
Eligiendo cono superficie una esfera centrada en la carga, el campo eléctrico es normal a la superficie, luego
ð = ð E n dS = E ð dS = E S = E 4ðr2 = q/ðð
entonces
E = q /4ðððr2.
Superficie esférica
Se elige la misma superficie esférica. En un punto del interior, al no haber cargas encerradas, se tiene q/ðð =0, es decir, Eint =0. En el exterior, es válido el resultado anterior.
Lámina conductora
Supóngase una distribución uniforme de carga σ. Elegimos, por cuestiones de simetría, como superficie un cilindro normal a la lámina. El campo eléctrico es normal a la lámina, luego el flujo por la pared del cilindro es nulo y tan sólo hay flujo en sus caras planas, con incidencia normal,
ð = ð E n dS = E ð dS = E S = E 2 ðr2 = q/ðð
La carga encerrada es q = σ A = σ ðr2, luego
E = σ /2ðð.
Línea cargada
Suponiendo una distribución uniforme ð de carga, elegimos el cilindro paralelo a la línea y centrado en ella. El campo eléctrico a través de sus caras planas será nulo, y normal a su pared, luego
ð = ð E n dS = E ð dS = E S = E 2 ðr L = q/ðð
La carga encerrada es q = ð L, luego
E = ð / 2ðr ðð.
Teorema de Gauss en forma diferencial
Por otra parte, el teorema de Gauss del cálculo vectorial dice que, para todo campo vectorial V y cualquiera superficie S que encierre un volumen V', se cumple que el flujo de V a través de S es igual a la integral extendida a todo el volumen V' de la divergencia de V, esto es
ð V n dS = ð ð.Vdt´ (19)
s v´
La aplicación de este teorema al campo eléctrico, junto con (18), nos permite escribir la ley de Gauss en forma diferencial para una distribución continua de carga de densidad ρ. En efecto, sea S una superficie cerrada arbitraria y V' el volumen que encierra, entonces
ð E n dS = q / ð0 = 1 / ð0 ð ρ (r´) dr´ = ð ðEdr´ (20)
S V´ v´
pero como V' es arbitrario, se tiene la igualdad
ðE = ρ ð ð0 (21)
El significado físico de la ley de Gauss en forma diferencial es que establece una relación local entre el campo eléctrico en un punto y la densidad de carga en él. De este modo, se puede concluir que las cargas eléctricas son las fuentes del campo eléctrico, y que su distribución y magnitud determinan el campo en cada punto del espacio.
Por regla general, a las cargas positivas se las denomina fuentes del campo eléctrico, pues desde ellas parten las líneas de fuerza, mientras que a las cargas negativas se las llama sumideros del campo, ya que las líneas de fuerza siempre acaban en ellas.
Sustituyendo la ecuación (18) en la (21) tenemos la ley de Gauss para el potencial, más conocida como ecuación de Poisson
ðððV=ððV = -( ρ ðð0 ) (22)
En los puntos donde no hay cargas ρ = 0, y la ecuación anterior se reduce a la ecuación de Laplace ð2 = 0.
El problema electrostático fundamental consiste en calcular el potencial, y por lo tanto el campo eléctrico, en cada punto del espacio para una distribución de cargas dada. Esto equivale a resolver la ecuación de Poisson.
También puede resolver la ecuación de Laplace con las condiciones de contorno en las superficies que delimitan las distribuciones de carga (p. ej. las superficies de los conductores


MAXIMILIANO LOVUOLO
DNI 38463466

TEOREMA DE RUFINI

Teorema de Abel-Ruffini

En matemáticas el teorema de Abel o teorema de Abel-Ruffini postula que no puede resolverse por radicales las ecuaciones polinómicas generales de grado igual o superior a cinco.

Es decir, no es posible encontrar las soluciones de la ecuación general:

de grado superior o igual a cinco, aplicando únicamente un número finito de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y extracción de raíces a los coeficientes de la ecuación.

[editar]Aclaraciones

El contenido de este problema es generalmente mal entendido:

1.     El teorema no afirma que las ecuaciones polinómicas de grado cinco o superior no tengan soluciones o que no puedan ser resueltas. De hecho, si la ecuación polinómica tiene coeficientes reales o complejos y permitimos soluciones complejas, entonces cualquier ecuación polinomial tiene soluciones; éste es el teorema fundamental del álgebra. Aunque estas soluciones no siempre pueden ser calculadas exactamente con un número finito de operaciones aritméticas, pueden serlo hasta cualquier grado de exactitud deseado usando métodos numéricos tales como el método de Newton-Raphson o el Método de Laguerre, y de ese modo no son diferentes de las soluciones de las ecuaciones polinómicas de segundo, tercero y cuarto grados.

2.     El teorema solo se refiere a la forma que una solución debe tomar. El contenido del teorema es que la solución de una ecuación de grado cinco o superior no puede siempre ser expresada comenzando por los coeficientes y usando solo finitamente las operaciones de suma, multiplicación,y radicación.

3.     El teorema es falso para ecuaciones de grados inferiores a cinco. Por ejemplo, las soluciones de la ecuación de segundo gradoax² + bx + c = 0 pueden ser expresadas en términos de adición, multiplicación y extracción de raíces como:

Formas análogas para las ecuaciones polinómicas de tercer y cuarto grado, usando raíces cúbicas y cuartas, han sido conocidas desde el siglo XVI.

4.     Para grados superiores o iguales a cinco, el teorema especifica que no puede resolverse por radicales cualquier ecuación pero hay ecuaciones particulares que sí pueden resolverse por radicales. Así, el teorema de Saüch-Ruffini dice que hay algunas ecuaciones de quinto grado cuya solución no puede ser expresada de ese modo como por ejemplo la ecuación 'x⁵ - x + 1 = 0 . Sin embargo, algunas otras ecuaciones de quinto grado pueden ser resueltas mediante radicales, por ejemplo x⁵ - x⁴ - x + 1 = 0.

5.     El criterio preciso que separa aquellas ecuaciones que pueden ser resueltas mediante radicales de aquellas que no fue dado porÉvariste Galois y es parte de la Teoría de Galois: una ecuación polinómica puede ser resuelta mediante radicales si y sólo si sugrupo de Galois es un grupo resoluble. En el análisis moderno, la razón por la que las ecuaciones polinomiales de segundo, tercero cuarto grado pueden ser resueltas siempre mediante radicales mientras que las ecuaciones de grado superior no es simplemente el hecho algebraico de que los grupos simétricos S2, S3 y S4 son grupos resolubles, mientras que Sn no es resoluble para n ≥ 5.

[editar]Demostración

La siguiente prueba esta basada en la Teoría de Galois. Uno de los teoremas fundamentales de la teoría de Galois dice que una ecuación se puede resolver en radicales si, y solo si tiene un Grupo de Galois que se puede resolver, entonces la prueba del teorema de Abel-Ruffini viene de computar el grupo de Galois del polinomio general de quinto grado.

Sea y₁ un número real trascendente sobre el campo de los números racionales Q, y sea y₂ un número real trascendental sobre Q(y₁), y así hasta y₅ que es trascendental sobre Q(y₁,y₂,y₃,y₄). Estos números son llamados elementos trascendentales independientes sobre Q. Sea E = Q(y₁,y₂,y₃,y₄,y₅) y sea

NICOLAS ROSALES
DNI 38.591.907